Grup dan Subgrup - Struktur Aljabar I

https://www.pixabay.com

A. Grub dan Grub Abelian
Definisi 1

Misalkan G himpunan tak kosong dan $\ast$ operasi yang didefinisikan pada G. $\left \langle G,\ast \right \rangle$ dinamakan grub apabila:

1. Operasi $\ast$ bersifat tertutup

2. Operasi $\ast$ bersifat asosiatif

3. Terdapat e ∈ G sehingga e $\ast$ x = x $\ast$ e = x, untuk setiap x ∈ G. (dentitas)

4. Untuk setiap a ∈ G terdapat a ∈ G dengan sifat a' $\ast$ a = a $\ast$ a' = e. (Invers)

Keterangan:

e = elemen netral atau elemen identitas.

a = invers dari a (simbol $a^{-1}$ )

Definisi 2

Grub $\left \langle G,\ast \right \rangle$ dinamakan grub abelian (komutatif) apabila a $\ast$ b = b $\ast$ a untuk setiap a,b ∈ G.

dan juga harus memenuhi ke-4 sifat pada definisi 1.

Contoh:

Didefinisikan operasi $\ast$ pada $Q^+$ dengan a $\ast$ b = $\frac{ab}{2}$ . Buktikan bahwa $\left \langle Q^+,\ast \right \rangle$ grub abelian!

Jawab:

1. Adib $\ast$ bersifat tertutup

Ambil sembarang a,b ∈ $Q^+$ .

Jelas a $\ast$ b = $\frac{ab}{2}$ ∈ $Q^+$ .

Jadi bersifat tertutup.

2. Adib $\ast$ bersifat asosiatif

Ambi sembarang a,b,c $Q^+$ .

$Jelas~(a\ast b)\ast c=\frac{ab}{2}\ast c\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{\frac{ab}{2}.c}{2}\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{abc}{4}$

$Jelas~a\ast( b\ast c)=a\ast \frac{bc}{2}\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{a.\frac{bc}{2}}{2}\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{abc}{4}$

Karena (a $\ast$ b) $\ast$ c = a $\ast$ (b $\ast$ c) maka operasi $\ast$ bersifat asosiatif.

3. Adib mempunyai elemen netral (Identitas)

Ambil sembarang a ∈ $Q^+$ .

$a\ast e=a\\\\ ~\Leftrightarrow ~~\frac{ae}{2}=a\\ ~\Leftrightarrow ~~~~e=2$

$Jelas~a\ast e=\frac{a.2}{2}=a\\\\ ~~~~~~~~~~~~~e\ast a=\frac{2.a}{2}=a$

Karena a $\ast$ e = e $\ast$ a = a maka operasi $\ast$ bersifat identitas atau mempunyai elemen netral.

4. Adib mempunyai invers

Ambil sembarang a ∈ $Q^+$ .

$Mencari~nilai~a\\ ~~~~~~~~~a\ast a'=e\\ ~~~~~\Leftrightarrow ~\frac{a.a'}{2}=2\\\\ ~~~~~\Leftrightarrow ~~~a'=\frac{4}{a}$
$Diperoleh~a\ast a'=a\ast \frac{4}{a}\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{a.\frac{4}{a}}{2}=2\\\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~a'\ast a=\frac{4}{a}\ast a\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{\frac{4}{a}.a}{2}=2$

Jadi setiap a ∈ $Q^+$ mempunyai invers $a'=\frac{4}{a}$

5. Adib $\ast$ bersifat komutatif

Ambil sembarang a,b ∈ $Q^+$ .

$Jelas~a\ast b=\frac{ab}{2}\\\\ ~~~~~~~~~~~~b\ast a=\frac{ba}{2}$

Karena a $\ast$ b = b $\ast$ a maka operasi $\ast$ bersifat komutatif.

Berdasarkan 1, 2, 3, 4, dan 5 dapat disimpulkan bahwa $\left \langle Q^+,\ast \right \rangle$ merupakan grub abelian.

B. Subgrub
Definisi
Jika G grub dan H ⊂ G maka H dinamakan subgrub apabila H merupakan grub terhadap operasi yang didefinisikan pada G.

Teorema
Diketahui G grub dan H ⊂ G. H subgrub G jika dan hanya jika
1. H bersifat tertutup terhadap operasi pada G.
2. e ∈ H.
3. $a^{-1}$ ∈ H untuk setiap a ∈ H.

Materi diatas diambil dari jurnal pdf Buku Ajar Penghantar Struktur Aljabar 1 yang dibuat oleh Isnarto, S.Pd, M.Si. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. Tahun 2008.

Baca Juga:

Iklan Bawah Header

Grup dan Subgrup - Struktur Aljabar I

0 Response to "Grup dan Subgrup - Struktur Aljabar I"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel