Relasi Ekuivalen - Struktur Aljabar I

#Materi dibawah ini diambil dari jurnal pdf Buku Ajar Penghantar Struktur Aljabar 1 yang dibuat oleh Isnarto, S.Pd, M.Si. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. Tahun 2008.

Definisi 1.1

Misalkan S himpunan kosong.

1. Refleksif, a~a untuk setiap a ∈ S.

2. Simetris, a~b

b~a, untuk setiap a,b ∈ S.

3. Transitif, a~b dan b~c

a~c untuk setiap a,b,c ∈ S.

Berikut ini adalah pembahasan dari ketiga sifat diatas:

1. Bersifat Reflektif

Dikatakan bersifat reflektif jika mempunyai bentuk umum: a | a

2. Bersifat Simetris

Dikatakan bersifat simetris jika mempunyai bentuk umum: a | b, jika dan hanya jika b = ac

Contoh:

Berikut ini tentukan manakah yang bersifat simestris dan manakah yang tidak simetris!

a. 2 | 6

b. 6 | 2

c. 3 | 9

d. 2 | 8

e. 10 | 5

Jawaban:

a. Bersifat simestris

6 = 2x3.

b. Tidak bersifat simetris

2 = 6 x 1/3, 1/3 ∉ Z (bulat).

c. Bersifat simetris

9 = 3x3.

d. Bersifat simetris

8 = 2x4.

e. Tidak bersifat simetris

5 = 10 x 1/2, 1/2 ∉ Z (bulat).

3. Bersifat Transitif

Dikatakan bersifat transitif jika mempunyai bentuk umum sebagai berikut:

jika a | b dan b | c maka a | c

Bukti:

Ambil sembarang 2 bilangan bulat m dan n sehingga:

a | b

b = a.m

b | c

c = b.n

Akibatnya,

c = b.n

= (a.m).n

= (mn).a

Karena, terdapat 2 bilangan bulat mn sehingga berlaku c = (mn).a maka a | c.

Jadi terbukti a | b dan b | c maka a | c bersifat transitif.

Contoh 1.1

Misalkan Q =

p,q ∈ Z, q ≠ 0. Didefinisikan relasi ~ pada Q dengan aturan

jika dan hanya jika ms = nr. Buktikan bahwa relasi ~ pada Q merupakan relasi ekuivalen.

Jawab:

Untuk membuktikan bahwa relasi ~ pada Q merupakan relasi ekuivalen, maka harus bersifat reflektif, simestris, dan transitif.

Adib ~ bersifat reflektif
Ambil sembarang